Question

如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．

（1）填空：经过A，B，D三点的抛物线的解析式是            ；

（2）已知点F在（1）中的抛物线的对称轴上，求点F到点B,D的距离之差的最大值；

（3）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，-2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而增大时所对应的自变量x的取值范围．

Answer

（1）y=x2x-2；（2）2；（3）存在,M点的坐标为：（-2，0），（-2，-4），（-2，4-4）；（4）S=.

【解析】分析：(1)根据△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据OA=6，OA=2得出点A、点B坐标，把三点代入即可求解；(2)根据点F在抛物线的对称轴上，点A,B关于抛物线的对称轴对称，所以可得：|FB-FD|=|FA-FD|，据三角形三边关系得|FA-FD|≤AD=2√2，从而求解；(3)由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH，求出MN的长，再根据直线OE的解析式，依题意得MN∥OE，设MN的解析式为y=x+b，确定出直线DE的解析式与直线BC的解析式，进而表示出M与N坐标，表示出CM，CN，MN，分三种情况考虑：①当CM=CN时；②当CM=MN时；③当CM=MN时，分别求出满足题意M的坐标即可；(4)根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据①当0≤x≤2时，S=x²-8x+12=(x-4)²-4，②当2