Question

如图，已知F是以AC为直径的半圆O上任意一点，过AC上任意一点H作AC的垂线分别交CF,AF的延长线于点E，B，点D是线段BE的中点.

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若BF=AF，求证AF²=EF·CF.

Answer

（1）证明见解析;（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）连接OF，根据圆周角定理得出∠AFC=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求得DF=DE=BE，根据等边对等角得出∠1=∠2，∠3=∠C，进而求得OF⊥DF，即可证得DF是 O的切线．（2）由∠C=∠BEF，∠EFB=∠AFC，可推出△EFB∽△AFC，进而推出，即可求解.

本题解析：1)证明：如图1，连接OF，

∵AC是直径∴∠AFC=90°∴∠BFE=90°，

∵D是BE的中点∴DF=DE=BE，∴∠1=∠2，

∵OF=OC，∴∠3=∠C，∴∠1+∠3=∠2+∠C=∠4+∠C，

∵BH⊥AC，∴在Rt△ECH中,∠4+∠C=90°，

∴∠1+∠3=90°，∴∠DFO=90°，∴OF⊥DF，

∴DF是O的切线。

（2）∵∠C=∠BEF，∠EFB=∠AFC, ∴△EFB∽△AFC，∴，即AF·BF= EF·CF,又BF=AF，∴AF2=EF·CF.

点睛：本题考查了切线的判定，直角三角形斜边的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质等，本题的关键是作辅助线.