Question

如图1，⊙O的直径AB为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.

（1）求证：△ABC∽△PDC

（2）如图2，当点P到达B点时，求CD的长；

（3）设CD的长为.在点P的运动过程中，的取值范围为              （请直接写出答案）.

Answer

（1）证明见解析；（2）6；（3）

【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，进而得出∠ACB=∠PCD和∠A=∠P，从而得解；

（2）先求出BC，根据三角形相似可求CD的长；

（3）如图中，由题意可知CD=PC•tan60°，所以只要求出PC的最小值和最大值即可解决问题．

试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

又∵∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC

（2）∵∠ABC=30°，AB=4，

∴BC=，

∵△ABC∽△PDC，

∴∠D=∠ABC=30°，

∴CD=6

（3）如图，

∵AB是直径，∠ABC=30°，AB=4
∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，
∵CD⊥PC，
∴∠PCD=90°，CD=PC•tan60°，
∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值为直径=4，
∴CD的最小值为2，最大值为4，
∴2≤CD≤4．