Question

已知二次函数y=x²-（2m+1）x+（m²-1）.

（1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点；

（2）若该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1），求该二次函数的表达式.

Answer

（1）证明见解析（2）y=x2-5x+1；y=x2-13x+17

【解析】试题分析：(1)、利用配方法得出b2-4ac的值恒为正数，则二次函数图像与x轴总有两个不同的交点；(2)、将点(2m-2，-2m-1)代入函数解析式，从而求出m的值，得出函数解析式.

试题解析：（1）∵b2-4ac=（2m+1）2-4（m2-1）=（4m2+4m+1）-2m2+4=2m2+4m+5=2（m+1）2+3，

∴不论m取什么实数，方程x2-（2m+1）x+（m2-1）=0都有两个实数根，

∴不论m取什么实数，该二次函数图象总与x轴有两个交点；

（2）∵该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1），

∴（2m-2）2-（2m+1）（2m-2）+（m2-1）=-2m-1，

解得m1=2，m2=6，

即：m=2时，该二次函数的表达式为y=x2-5x+1；

m=6时，该二次函数的表达式为y=x2-13x+17．