Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosB=，G为BC上一点（不与B重合），以BG为直径的圆O交AB于D，作AD的垂直平分线交AD于F，交AC于E，连结DE．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若BG=3，求DE的长；

（3）设BG=x，DE=y，求y与x的函数关系，写出y的最小值．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、；(3)、y与x的函数关系是y=，（0＜x≤6），y的最小值是4．

【解析】

试题分析：(1)、连接OD、DG，由BG为圆的直径可知∠BDG是直角，然后只要证明∠ODE=90°，即可证明结论成立，根据题目中的条件可以得到∠ODE=90°，本题得以解决；(2)、根据题目中的条件和勾股定理，可以转化为直角三角形ODE和直角三角形OCD两直角边的平方等于OE的平方，从而可以得到DE的长；(3)、根据（2）中的求解方法，可以得到y与x的函数关系式，根据一次函数的性质，可以得到y的最小值．

试题解析：(1)、连接OD、DG，如右图所示， ∵BG为⊙O的直径，OD=OB，∠ACB=90°，

∴∠BDG=90°，∠ODB=∠B，∠B+∠A=90°， ∴∠A=∠ODG，∠GDE+∠EDA=90°，

又∵EF是AD的垂直平分线， ∴∠A=∠EDA， ∴∠EDA=∠ODG， ∴∠GDE+∠ODG=90°，

即OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线；

(2)、连接OE，如右上图所示，

∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=， ∴BC=AB•cosB=6，AC=8， ∵BG=3，

∴OD=1.5，OC=BC﹣OB=6﹣1.5=4.5， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴EA=ED，

设EA=x，则ED=x，EC=8﹣x， ∵∠ECO=90°，∠EDO=90°， ∴DE2+OD2=EC2+OC2，

即x2+1.52=（8﹣x）2+4.52， 解得，x=， 即DE的长是；

(3)、连接OE，如右上图所示，

∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=， ∴BC=AB•cosB=6，AC=8， ∵BG=x，

∴OD=0.5x，OC=BC﹣OB=6﹣0.5x， ∵EF是AD的垂直平分线，ED=y， ∴EA=ED=y， ∴EC=8﹣y，

∵∠ECO=90°，∠EDO=90°， ∴DE2+OD2=EC2+OC2， 即y2+（0.5x）2=（8﹣y）2+（6﹣0.5x）2，

化简，得y=，（0＜x≤6） ∵﹣＜0， ∴y随x的增大而减小，

∴当x=6时，y取得最小值，此时y==4， 即y与x的函数关系是y=，（0＜x≤6），y的最小值是4．

考点：圆的综合题．