Question

已知关于x的方程x²﹣（2k﹣3）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．

（1）求k的取值范围；

（2）若x₁、x₂满足|x₁|+|x₂|=2|x₁x₂|﹣3，求k的值．

Answer

(1)、k<；(2)、k=-2

【解析】

试题分析：(1)、根据方程有两个不相等的实数根可得△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4=﹣12k+5＞0，求出k的取值范围；(2)、首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到﹣2k+3=2k2+2﹣3，结合k的取值范围解方程即可．

试题解析：(1)、∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4=﹣12k+5＞0， 解得：k＜；

(2)、∵k＜， ∴x1+x2=2k﹣3＜0， 又∵x1•x2=k2+1＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=﹣2k+3， ∵|x1|+|x2|=2|x1x2|﹣3， ∴﹣2k+3=2k2+2﹣3， 即k2+k﹣2=0， ∴k1=1，k2=﹣2， 又∵k＜， ∴k=﹣2．

考点：(1)、根与系数的关系；(2)、根的判别式．