Question

如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x²+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标；

（3）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

Answer

(1)、y=x2﹣x+1；(2)、M（，﹣）；(3)、（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）

【解析】

试题分析：(1)、根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=x2+bx+c即可求得函数解析式．(2)、易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．(3)、让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨．

试题解析：(1)、将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c 得， 解得：．

∴物线的解折式为y=x2﹣x+1；

(2)、抛物线的对称轴为x=，B、C关于x=对称， ∴MC=MB，

要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大．

知直线AB的解析式为y=﹣x+1 ∴， 解得：． 则M（，﹣）．

(3)、设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1， 即E点的坐标（m，m2﹣m+1），

又∵点E在直线y=x+1上， ∴m2﹣m+1=m+1 解得m1=0（舍去），m2=4， ∴E的坐标为（4，3）．

（Ⅰ）当A为直角顶点时， 过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），

由Rt△AOD∽Rt△P1OA得 即， ∴a=，a=-（舍去）， ∴P1（，0）．

（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，

由Rt△AOD∽Rt△P2ED得， 即：， ∴EP2= ∴DP2==

∴a=﹣2=， ∴P2点坐标为（，0）．

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），

由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，

由得：， 解得b1=3，b2=1， ∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．

考点：二次函数综合题．