Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x₁、x₂

恰是方程的两根，且sin∠OBC＝.

1.求该抛物线的解析式；

2.抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由

3.在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

1.由已知，可求：OA＝1，OB＝3，OC＝3.

设抛物线的函数关系式为y＝a（x＋1）（a－3）.      

∵抛物线与y轴交于点C （0，3），

∴3＝a×1×（－3），

解得：a＝－1.

所以二次函数式为y=－x2＋2x＋3.…………………………（3分）

2.由y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，

则顶点P（1，4）.共分两种情况：

①由B、C两点坐标可知，直线BC解析式为y＝－x＋3.

设过点P与直线BC平行的直线为：y＝－x＋b，

将点P（1，4）代入，得y＝－x＋5.

则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，

－x2＋2x＋3＝－x＋5，

解得x＝1或x＝2.

代入直线则得点（1，4）或（2，3）.

已知点P（1，4），

所以点Q（2，3）.…………（6分）

②由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM＝2，

设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y＝－x＋c，

将P′代入，得y＝－x＋1.

联立，

解得或.

∴Q（2，3）或Q（，）或Q（，）.

         ………………………………………………（10分）

3.由题意求得直线BC代入x＝1，

则y＝2.

∴M（1，2）.由点M，P的坐标可知：

点R存在，即过点M平行于x轴的直线，

则代入y＝2，x2－2x－1＝0，

解得x1＝1－（在对称轴的左侧，舍去），

x2=，

即点R（，2）．…………………（13分）

【解析】（1）利用抛物线与两轴的交点坐标求出抛物线的解析式；

（2）根据三角形面积相等就是同底等高，分两种情况讨论；

（3）与（2）相同。