Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，

 

1.求证：四边形CFDE是正方形

2.若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径.

Answer

1.过D作DG⊥AB交AB于G点，

∵AD是∠BAC的角平分线

∴∠FAD=∠BAD

∵DF⊥AC,DG⊥AB

∴∠AFD=∠AGD=90°

∵AD=AD

∴△AFD≌△AGD

∴DF=DG

同理可证DE=DG

∴DE=DF

∵∠C=∠CFD=∠CED=90°

∴四边形CFDE是正方形.    （5分）

2.∵AC＝3，BC＝4

∴AB=5

由（1）知AF=AG,BE=BG

∴AF+BE=AB

∵四边形CFDE是正方形∴2CE=AC+CB-AB=2，即CE=1

△ABC的内切圆半径为1.       （10分）

【解析】（1）利用角平分线的性质证明出FD=ED，然后利用三个垂直证明四边形CFDE是正方形；

         （2）考查勾股定理和内切圆的圆心是解平分线的交点的性质来求解。