Question

在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.

原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB＝90° , ∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA＝DB,  EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小伟同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

1.写出原问题中DF与EF的数量关系

2.如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

3.如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中

得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明

Answer

1.DF= EF.     ……………………………（2分）

2.猜想：DF= FE.

证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90°.

∵ DA=DB，∠ADB=60°.

∴ AG=BG， △DBA是等边三角形.

∴ DB=BA.

∵ ∠ACB=90° ， ∠ABC=30°，

∴ AC=AB=BG.    ∴ △DBG≌△BAC.

∴ DG=BC.         ∵ BE=EC， ∠BEC=60° ，

∴ △EBC是等边三角形.

∴ BC=BE， ∠CBE=60°.

∴ DG= BE， ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .

∵ ∠DFG =∠EFB，∠DGF =∠EBF，

∴ △DFG≌△EFB. ∴ DF= EF.          ………………（7分）

3.猜想：DF= FE.

过点D作DH⊥AB于H， 连接HC、HE、HE交CB于K，则∠DHB=90°.

∵ DA=DB,     ∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.

∵ ∠ACB=90°，∴ HC=HB.

∵ EB=EC，HE=HE，

∴ △HBE≌△HCE.  

∴ ∠2=∠3，∠4=∠BEH.  ∴ HK⊥BC.

∴ ∠BKE=90°.     

∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC，

∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.

∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，

∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.

∴ DB//HE， DH//BE.

∴ 四边形DHEB是平行四边形.

∴ DF=EF.  ………………………………………………………（12分）

【解析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．