Question

已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D.

 

1.求证：FD是⊙O的切线；

2.设OC与BE相交于点G，若OG＝4，求⊙O

半径的长；

3.在（2）的条件下，当OE＝6时，求图中阴影部分的面积.（结果保留根号）

Answer

1.连接OC．∵OA=OC

∴∠A=∠ACO

∵OE⊥AC∠FCA=∠AOE

∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°

∴∠FCO=90°

∴FD是⊙O的切线（4分）

2.∵OE⊥AC，AO=CO

  ∴AE=EC

∵AO=BO

∴OE∥CB且2OE=BC

∴△GEO∽△CGB

∴

∵OG＝4

∴CG=8

OC=CG+OG=12

⊙O半径的长为12.   （7分）

3.∵OE＝6，根据（2）可得BC=12

∵⊙O半径的长为12.

∴△OCB是等边三角形，即∠COB=60°

DC=OCtan∠COB=12

=72,

=24

阴影部分的面积.=（10分）

【解析】（1）连接OC．欲证明FD是⊙O的切线，只需证明∠FCO=90°；

(2)利用△GEO∽△CGB求出半径；

（3）先求出△OCD面积，再求出扇形OCB面积，这样就能求出阴影面积。