2011-2012学年江苏省南京市六合高级中学高三（下）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合U={x|0＜x＜7，x∈Z}，A={2，3，5}，B={1，4}，则（C_UA）∩（C_UB）=    ．

2. 难度：中等

已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则复数的虚部为    ．

3. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²+x+1≤0”的否定是    ．

4. 难度：中等

过点A（2，6），且垂直于直线x-y-2=0的直线方程为    ．

5. 难度：中等

两条平行直线5x-12y-2=0与5x-12y+24=0之间的距离等于    ．

6. 难度：中等

曲线y=2e^x在x=0处的切线方程是    ．

7. 难度：中等

用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是     ．

8. 难度：中等

函数（x≥0）的单调减区间为    ．

9. 难度：中等

与双曲线有公共渐近线，且一条准线方程为的双曲线方程为    ．

10. 难度：中等

函数y=3x-x³，x∈[0，3]的值域是    ．

11. 难度：中等

若圆x²+y²=t²与圆x²+y²+6x-8y+24=0外切，则正数t的值是    ．

12. 难度：中等

已知平面内两点A（-4，1），B（-3，-1），直线y=kx+2与线段AB恒有公共点，则实数k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

如图，已知F₁，F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为    ．

14. 难度：中等

设a＞0，函数，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则a的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

16. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）求三棱锥D-PAC的体积．

17. 难度：中等

已知椭圆C的中心O在原点，长轴在x轴上，焦距为6，短轴长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（-5，0）作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，求△ABO的面积．

18. 难度：中等

某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y．
（1）设∠PBO=α，把y表示成α的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

19. 难度：中等

已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b为常数．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求实数a，b的值；
（2）若a=0，
（I）方程f（x）=2在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；
（II）不等式f（x）+2b≥0对∀x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．
（1）求证：△DEF∽△EFA；
（2）如果FG=1，求EF的长．

22. 难度：中等

设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C₁的方程为ρ²=8ρsinθ-15，曲线 C₂的方程为（α为参数）．
（1）将C₁的方程化为直角坐标方程；
（2）若C₂上的点Q对应的参数为α=，P为C₁上的动点，求PQ的最小值．

24. 难度：中等

附加题选做题D．（选修4-5：不等式选讲）
设函数f（x）=|x-1|+|x+1|，若不等式|a+b|-|2a-b|≤|a|•f（x）对任意a，b∈R且a≠0恒成立，求实数x的范围．

25. 难度：中等

附加题（必做题）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）设，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，求λ的值；
（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

26. 难度：中等

附加题（必做题）
在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字．
（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？
（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．