Question

已知函数f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b为常数．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求实数a，b的值；
（2）若a=0，
（I）方程f（x）=2在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；
（II）不等式f（x）+2b≥0对∀x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）对函数求导，由题意可得，f′（1）=0，f（1）=10，代入可求a，b
（2）（I）由题意f（x）-2=可得0，令g（x）=f（x）-2=x3-bx-2，对函数g（x）求导可得g’（x）=3x2-b，分类讨论：分（ⅰ）若b≤0，（ⅱ）b＞0，两种情况讨论g（x）在[-4，4]上的单调性，结合单调性可求b
（II）法一：由已知整理可得（x-2）b≤x3，分类讨论（ⅰ）若x-2=0（ⅱ）若x-2＜0（ⅲ）若x-2＞0三种情况，由恒成立转化为求解函数相应的最值即可求解
法二：由已知可得x3-bx+2b≥0，构造函数T（x）=x3-bx+2b，通过讨论函数T（x）的单调性可求函数T（x）在[1，4]上的最小值，通过恒成立与函数最值的相互转化关系即可求解b的范围
【解析】
（1）对函数求导可得，f′（x）=3x2-2ax-b
由题意可得，f′（1）=0，f（1）=10（2分）
∴3-2a-b=0，1-a-b+a2=10
∴a=3，b=-3或a=-4，b=11（4分）
经检验a=3，b=-3不合题意，舍去
∴a=-4，b=11（5分）
（2）（I）由f（x）=2，得f（x）-2=0，令g（x）=f（x）-2=x3-bx-2，
则方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解．
∵g’（x）=3x2-b，
（ⅰ）若b≤0，则g’（x）≥0恒成立，且函数g（x）不为常函数，
∴g（x）在区间[-4，4]上为增函数，不合题意，舍去．          （6分）
（ⅱ）若b＞0，则函数g（x）在区间（-∞，-）上为增函数，在区间（-）上为减函数，在区间（，+∞）上为增函数，
由方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解，可得（9分）
解得∴b∈（ （10分） ）
（II）法一：由不等式f（x）+2b≥0，得x3-bx+2b≥0，即（x-2）b≤x3，
（ⅰ）若x-2=0即x=2时，b∈R；   （11分）
（ⅱ）若x-2＜0即x∈[1，2）时，b≥在区间[1，2）上恒成立，令h（x）=，则b≥h（x）max．
∵h’（x）=，
∴h’（x）＜0在x∈[1，2）上恒成立，所以h（x）在区间[1，2）上是减函数，
∴h（x）max=h（1）=-1，
∴b≥-1．        （13分）
（ⅲ）若x-2＞0即x∈（2，4]时，b≤在区间（2，4]上恒成立，则b≤h（x）min．
由（ⅱ）可知，函数h（x）在区间（2，3）上是减函数，在区间（3，4]上是增函数，
∴h（x）min=h（3）=27，
∴b≤27  （15分）
综上所述，b∈[-1，27]（16分）
法二：∵f（x）+2b≥0
∴x3-bx+2b≥0
设T（x）=x3-bx+2b，T′（x）=3x2-b（11分）
当b≤0时，T′（x）=3x2-b≥0，T（x）在[1，4]上为增函数，T（x）min=T（1）=1+b，所以1+b≥0，-1≤b≤0（12分）
当b＞0时，T（x）在区间（-∞，-）上为增函数，在区间（-，）上为减函数，在区间（，+∞）上为增函数，
若，即0＜b≤3时，T（x）在[1，4]上为增函数，T（x）min=T（1）=1+b
所以1+b≥0，0＜b≤3（13分）
若时，3＜b＜48时，T（x）在上为减函数，在上为增函数，
所以，得3＜b≤27（14分）
若时，即b≥48时，T（x）在[1，4]上为减函数，T（x）min=T（4）=64-2b≥0，
得b≤32，舍去．  （15分）
故b的取值范围是[-1，27]（16分）