2015-2016学年江苏南通中学高一下期中理科数学卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

若（是虚数单位），则          ．

2. 难度：简单

已知复数满足（是虚数单位），则=          ．

3. 难度：中等

用反证法证明命题“若能被2整除，则中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是         ．

4. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式“2ⁿ>n²＋1对于n≥n₀的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n₀应取为          ．

5. 难度：简单

三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是          ．(填写序号) 

6. 难度：中等

若空间直角坐标系中点在同一条直线上，则          ．

7. 难度：中等

已知＝(2，－1,3)，＝(－1,4，－2)，＝(7,5，λ)，若、、三向量共面，则实数λ＝          ．

8. 难度：简单

已知，则的最小值          ．

9. 难度：中等

利用数学归纳法证明不等式的过程中，用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为          ．

二、解答题

10. 难度：中等

集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：

；

；

则=          ．（写出计算结果）

三、选择题

11. 难度：中等

已知复数满足等式（是虚数单位），则的最小值是          ．

四、填空题

12. 难度：中等

如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第7个数是          ．

13. 难度：困难

设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数图像上任意两点，，线段AB必在弧线AB上方．由图象中的点C在点C′（点C′在函数y=x²图像上）正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是(正确的)          ．

五、解答题

14. 难度：简单

已知是复数，均为实数（是虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，

（1）求复数

（2） 求实数的取值范围．

15. 难度：中等

阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：…①，…②，由①②得…③，令，，有，，代入③得．

（1）利用上述结论，试求的值；

（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：.

16. 难度：困难

如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．

（1）若，求证：⊥；

（2）若二面角的大小为，求线段的长．

17. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝4，CB＝4，CC₁＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A₁B₁上.

（1）若A₁M＝3MB₁，求异面直线AM和A₁C所成角的余弦值；

（2）若直线AM与平面ABC₁所成角为30°，试确定点M的位置.

18. 难度：困难

已知函数，数列满足：

（1）证明：在上是增函数

（2）用数学归纳法证明：；

（3）证明：

19. 难度：困难

已知函数，，图象恒过定点，且点既在图象上，又在的导函数的图象上.

（1）求的值；

（2）设，当且时，判断的符号，并说明理由；

（3）求证：（且）.