Question

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝4，CB＝4，CC₁＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A₁B₁上.

（1）若A₁M＝3MB₁，求异面直线AM和A₁C所成角的余弦值；

（2）若直线AM与平面ABC₁所成角为30°，试确定点M的位置.

Answer

（1）；（2）线段A1B1的中点．

【解析】

试题分析：本题考查用空间向量法解决立体几何问题，最简单的方法是建立空间直角坐标系，如以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，（1）求得相应向量，异面直线AM和A1C所成角的余弦值就是cos〈，〉的绝对值；（2）先求得平面ABC1的法向量为n，因为点M在线段A1B1上，可设M(x,4－x,2)，利用法向量n与向量的夹角（锐角）与直线和平面所成的角互余可得，即由|cos〈n，〉|＝可求得，从而确定的位置．

试题解析:方法一 (坐标法)

以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4，2).

(1)因为A1M＝3MB1，所以M(1,3,2).

所以＝(4,0,2),＝(－3,3,2).

所以cos〈，〉＝＝－.

所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为.

(2)由A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,2)，

知＝(－4,4,0)，＝(－4,0,2).

设平面ABC1的法向量为n＝(a，b，c)，

由得

令a＝1，则b＝1，c＝，

所以平面ABC1的一个法向量为n＝(1,1，).

因为点M在线段A1B1上，所以可设M(x,4－x,2)，

所以＝(x－4,4－x,2).

因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，

所以|cos〈n，〉|＝sin 30°＝.

由|n|＝|n||||cos〈n，〉|，得

|1 (x－4)＋1 (4－x)＋2|

＝2，

解得x＝2或x＝6.

因为点M在线段A1B1上，所以x＝2，

即点M(2,2,2)是线段A1B1的中点.

方法二 (选基底法)

由题意得CC1⊥CA，CA⊥CB，CC1⊥CB，取，，作为一组基底，

则有||＝||＝4，||＝2，

且＝＝＝0.

(1)由＝3，则＝＝＝－，

∴＝＋＝＋－，

且||＝

＝－－，且||＝2，

∴＝4

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线AM与A1C所成角的余弦值为.

(2)设A1M＝λA1B1，则＝＋λ－λ.

又＝－，＝－，

设面ABC1的法向量为n＝x＋y＋z，

则＝8z－16x＝0，＝16y－16x＝0，

不妨取x＝y＝1，z＝2，

则n＝＋＋2且|n|＝8，

||＝，＝16，

又AM与面ABC1所成的角为30°，则应有

＝＝，

得λ＝，即M为A1B1的中点.

考点：用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角．

【名师点睛】1.空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cos θ= |cos| . 

(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ= |cos| . 

(3)求二面角的大小

如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<>

如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ= cos或-cos .