2011-2012学年湖南省永州市祁阳四中高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M=﹛x|-3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜-5或x＞5﹜，则M∪N=（ ）
A．﹛x|x＜-5或x＞-3﹜
B．﹛x|-5＜x＜5﹜
C．﹛x|-3＜x＜5﹜
D．﹛x|x＜-3或x＞5﹜

2. 难度：中等

“x＜-1”是“x²-1＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₅=3，a₁₃=21，则S₁₇=（ ）
A．144
B．186
C．204
D．256

5. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（ ）

A．
B．π
C．2π
D．4π

6. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．（0，2）
B．（1，2）
C．（-∞，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，0）∪（2，+∞）

7. 难度：中等

A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是x_A，x_B，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）

A．x_A＜x_B，B比A成绩稳定
B．x_A＞x_B，B比A成绩稳定
C．x_A＜x_B，A比B成绩稳定
D．x_A＞x_B，A比B成绩稳定

8. 难度：中等

一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ）
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y=x²的一条切线方程为6x-y-b=0，则切点坐标为    ．

10. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为    ．

11. 难度：中等

若直线ax-y+1=0经过抛物线y²=4x的焦点，则实数a=    ．

12. 难度：中等

方程x²-2=lgx的实数解的个数为    ．

13. 难度：中等

若a＞0，则的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=4，则圆C关于直线x+y=1对称的圆的方程    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，对任意x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂时，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则f（-2），f（0），f（3）的大小关系是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=3，C=60°，△ABC的面积等于，求边长b和c．

17. 难度：中等

已知函数y=2x³-3x²-12x+8．
（Ⅰ）求函数在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间[-2，3]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

已知复数z=x-yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M．设集合P={-4，-3，0，4}，Q={-3，0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求点M落在第二象限的概率．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面B₁BCC₁所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知极坐标系下曲线C的方程为ρ=2cosθ+4sinθ，直线l经过点，倾斜角．
（Ⅰ）求直线l在相应直角坐标系下的参数方程；
（Ⅱ）设l与曲线C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

21. 难度：中等

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）当时，求直线l的方程；
（Ⅱ）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．