Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点，
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面B₁BCC₁所成角的正弦值．

Answer

（I）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．证明EO∥CD．说明CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，即可证明CD∥平面A1BE．
（II）过A1作A1G⊥B1C1于G，由平面A1B1C1⊥平面BCC1B1结合面面垂直的性质定理可得A1G⊥平面B1BCC1，连BG，则∠A1BG为直线A1B与平面B1BCC1所成的线面角，解直角三角形A1BG，可得直线A1B与平面B1BCC1所成角的正弦值．
证明：（Ⅰ）设A1B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为A1B的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1且．
又E是CC1中点，则EC∥BB1且，即EC∥OD且EC=OD，
则四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．…（6分）
（Ⅱ） 过A1作A1G⊥B1C1于G，因为平面A1B1C1⊥平面BCC1B1，则A1G⊥平面B1BCC1，连BG，则∠A1BG为直线A1B与平面B1BCC1所成的线面角，…（9分）
在直角三角形A1BG中，设B1B=a，，，
所以，…（12分）
所以直线A1B与平面B1BCC1所成角的正弦值为…（13分）