2012-2013学年山西大学附中高三（上）9月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若集合A={y|y≥0}，A∩B=B，则集合B不可能是（ ）
A．
B．
C．{y|y=lgx，x＞0}
D．∅

3. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若a＜b，则am²＜bm²”的否命题是假命题．
B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．
C．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x＜0”．
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．

4. 难度：中等

函数f（x）=lg的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，，则数列的前10项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．（4+π）
C．
D．

8. 难度：中等

在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x³+ax-b在区间[-1，1]上有且只有一个零点的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，若双曲线上存在一点P，满足|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，3]
B．（1，3）
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

10. 难度：中等

设α、β都是锐角，且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ（ ）
A．
B．
C．或
D．或

11. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（3^0.3）f（3^0.3），b=（log_π3）．f（log_π3），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b

二、填空题

13. 难度：中等

已知f（x）=则f（f（π））=   

14. 难度：中等

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是    ．

15. 难度：中等

已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，点M是△ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则的最大值为    ．

16. 难度：中等

设x，y∈（0，2]，已知xy=2，且6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，那么实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值．

18. 难度：中等

已知数列a_n的各项为正数，前n和为S_n，且．
（1）求证：数列a_n是等差数列；
（2）设，求T_n．

19. 难度：中等

改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2010年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2001年编号为1，2002年编号为2，…，2010年编号为10据如下：

年份（x）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人数（y）	3	5	8	11	13	14	17	22	30	31

（1）从这10年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于15概率；
（2）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程y=x+，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．
．

20. 难度：中等

如图，D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、BB₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4．
（Ⅰ）求证：A₁E∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点M，使二面角M-BC₁-B₁的大小为60°，若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（I）求椭圆方程；
（II）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：为定值．

22. 难度：中等

设函数
（1）当时，求f（x）的最大值．
（2）令，以其图象上任一点P（x，y）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围．