Question

在区间[0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x³+ax-b在区间[-1，1]上有且只有一个零点的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．
【解析】
由题意知本题是一个几何概型，
∵a∈[0，2]，
∴f'（x）=3x2+a≥0，
∴f（x）是增函数
若f（x）在[-1，1]有且仅有一个零点，
则f（-1）•f（1）≤0
∴（-1-a-b）（1+a-b）≤0，
即（1+a+b）（1+a-b）≥0 =11
由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4-=
∴P==
故选D