2012-2013学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第二次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x|-2＜x＜3}，N={y|y=x²+1，x∈R}，则集合M∩N=（ ）
A．（-2，+∞）
B．（-2，3）
C．[1，3）
D．R

2. 难度：中等

如果对于任意实数x，＜x＞表示不小于x的最小整数，例如＜1，1＞=2，＜-1，1＞=-1，那么“|x-y|＜1”是“＜x＞=＜y＞”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设与是两个不共线向量，且向量+与-（）共线，则实数λ的值等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

4. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=20，三角形面积为，A=60°，则 a=（ ）
A．7
B．8
C．5
D．6

5. 难度：中等

已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）
A．
B．
C．5
D．25

6. 难度：中等

下列函数中，在（0，）上有零点的函数是（ ）
A．f（x）=sinx-
B．f（x）=sinx-
C．f（x）=sin²x-
D．f（x）=sin²x-

7. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

8. 难度：中等

f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）
B．[4，8）
C．（4，8）
D．（1，8）

9. 难度：中等

已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1-x）-x²+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．x-y-2=0
B．x-y=0
C．3x+y-2=0
D．3x-y-2=0

10. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的1高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．[-2，2]
D．（-2，2）

二、填空题

11. 难度：中等

已知△ABC中，sin²A=sin²B+sin²C且，2cosB•sinC=sinA，则三角形的形状是    三角形．

12. 难度：中等

函数，则f（x）的单调递减区间是     ．

13. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C所对的边，若，且，则的最大值是    ．

14. 难度：中等

设O为△ABC的外心，且，则△ABC的内角C的值为    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=x³-2ex²+mx-lnx，记，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，，求△ABC的面积S．

17. 难度：中等

集合，B={y|y=asinθ，，a＞0}
（1）求集合A和B；               
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C满足
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

19. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有．
（1）解不等式；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．
（1）求a的值；
（2）若斜率为24的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程；
（3）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个不同交点？若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．