Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有．
（1）解不等式；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由f（x）是奇函数和单调性的定义，可得f（x）在[-1，1]上是增函数，再利用定义的逆用求解；
（2）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．
【解析】
（1）任取x1，x2∈[-1，1]且x1＜x2，则
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数
∵
∴
∴，
即不等式的解集为．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t2-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t2-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t2-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t2-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴
∴
解得t≤-2或t=0或t≥2．