2012-2013学年四川省成都市双流县棠湖中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

2. 难度：中等

如图是一几何体的三视图（单位：cm），则这个几何体的体积为（ ）

A．1cm³
B．3cm³
C．2cm³
D．6cm³

3. 难度：中等

若A（x，5+x，2x-1），B（1，x+2，x），当|AB|取最小值时，x的值为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．1

4. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．-++
B．
C．
D．--+

5. 难度：中等

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．若，且分别与，垂直，则向量为（ ）
A．（1，1，1）
B．（-1，-1，-1）
C．（1，1，1）或（-1，-1，-1）
D．（1，-1，1）或（-1，1，-1）

6. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，BC₁⊥AC，则C₁在面ABC上的射影H必在（ ）

A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线CA上
D．△ABC内部

二、填空题

8. 难度：中等

在空间直角坐标系Oxyz中，点P（3，1，5）关于yOz平面对称的点的坐标为    ．

9. 难度：中等

已知平面α的法向量是（2，3，-1），平面β的法向量是（4，λ，-2），若α∥β，则λ的值为    ．

10. 难度：中等

空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF=，则AD与BC所成的角为    ．

11. 难度：中等

下面四个计算题中，结果正确的是    ．（填序号）
①若，且的夹角为60，则；
②棱长为2正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BDD₁B₁的距离为d，则；
③棱长都是1的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，则对角线的长；
④在120的二面角α-AB-β中AC⊂α，BD⊂β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，则点C与D的距离．

三、解答题

12. 难度：中等

已知，，
（1）计算，及；
（2）求实数x，y的值，使．

13. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DD₁=1，，点E是B₁C₁的中点，点F在AB上，建立空间直角坐标系如图所示．
（1）求的坐标及长度；
（2）求点F的坐标，使直线DF与AE的夹角为90°．

14. 难度：中等

几何体P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中点，点E在BC上，且BE=2CE．
（1）求直线DE与PC夹角θ的余弦值；
（2）求直线DE与平面ABC所成角α的余弦值．

15. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AP=2AB，求证：BE⊥平面PCD．

16. 难度：中等

一个四棱锥的三视图如图所示．

（1）求这个四棱锥的全面积及体积；
（2）求证：PA⊥BD；
（3）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．

四、选择题

18. 难度：中等

只有两个表面平行的几何体是（ ）
A．四棱锥
B．四棱柱
C．圆台
D．长方体

19. 难度：中等

四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的12条棱中，与棱AA₁异面的棱共有（ ）
A．3条
B．4条
C．6条
D．7条

20. 难度：中等

斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为（ ）
A．a²
B．
C．
D．

21. 难度：中等

若A、B、C、D为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是（ ）
①
②
③
④．
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④

22. 难度：中等

一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）

A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°