2012-2013学年北京市通州区高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，那么下列表示正确的是（ ）
A．∅∉A
B．0∈A
C．{0}∈A
D．0⊆A

2. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，-），那么该幂函数的解析式是（ ）
A．y=x
B．y=x
C．y=
D．y=x^-1

3. 难度：中等

计算+log₃2-log₃6的结果是（ ）
A．16-1
B．4
C．3
D．1

4. 难度：中等

下列函数中，对于任意的x（x∈R），都有f（-x）=f（x），且在区间（0，1）上单调递增的是（ ）
A．f（x）=-x²+2
B．f（x）=
C．f（x）=x²-1
D．f（x）=x³

5. 难度：中等

已知a=2^-0.3，b=2^-0.2，c=log，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a
B．c＞a＞b
C．a＞b＞c
D．b＞a＞c

6. 难度：中等

已知函数f（x）=2x-b的零点为x，且x∈（-1，1），那么b的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．（-1，1）
C．（）
D．（-1，0）

7. 难度：中等

一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（ ）
A．lg
B．lg
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂x，g（x）=x²-3，那么函数y=f（x）g（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数，则f[f（-2）]=    ．

10. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={x|x²-2x=0}，B={x|x＜3，x∈N}，那么C_U（A∪B）=    ．

11. 难度：中等

函数的定义域是     ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（a-2）=a，则a=    ．

13. 难度：中等

已知关于x方程log₂（x-1）+k-1=0在区间[2，5]上有实数根，那么k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-2mx+n|，x∈R，下列结论：
①函数f（x）是偶函数；
②若f（0）=f（2）时，则函数f（x）的图象必关于直线x=1对称；
③若m²-n≤0，则函数f（x）在区间（-∞，m]上是减函数；
④函数f（x）有最小值|n-m²|．其中正确的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|-2＜x≤2}，B={x|x＞1}，C={x|x≤c}．
（Ⅰ）求A∪B；
（Ⅱ）求A∪（C_UB）；
（Ⅲ）若A∩C≠∅，求c的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x-2
（Ⅰ）用定义法证明：函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-mx是偶函数，求m的值．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=1
（Ⅰ）用分段函数的形式表示函数f（x）；
（Ⅱ）在坐标系中画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）在同一坐标系中，再画出函数g（x）=的图象（不用列表），观察图象直接写出当x＞0时，不等式f（x）的解集．

18. 难度：中等

某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-4x-1．
（Ⅰ）若a=2时，求当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若a=2，当x∈（0，1）时，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若a为非负数，且函数f（x）是区间[0，3]上的单调函数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x的值；
（Ⅱ）已知函数h（x）=具有性质M，求a的取值范围；
（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax²+bx+c（a≠0）、③y=（k≠0）、④y=ax（a＞0且a≠1）、⑤y=log_ax（a＞0且a≠1）的函数，指出哪些函数一定具有性质M？并加以证明．