Question

已知函数f（x）=x²-2x-2
（Ⅰ）用定义法证明：函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-mx是偶函数，求m的值．

Answer

（Ⅰ）设-∞＜x1＜x2≤1，计算 f（x1）-f（x2）的结果等于（x1-x2 ）（x1+x2-2），可得f（x1）＞f（x2），从而判断函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数．
（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx=x2-（2+m）x-2，g（x）是偶函数，从而得到2+m=0，由此求得m的值．
【解析】
（Ⅰ）设-∞＜x1＜x2≤1，…（2分）
所以，f（x1）-f（x2）=（-2x1-2）-（-2x2-2）=（x1-x2 ）（x1+x2-2），…（4分）
因为-∞＜x1＜x2，所以，x1-x2＜0，x1+x2-2＜0，
所以，f（x1）-f（x2）＞0，…（6分）
所以，f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数．…（8分）
（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）-mx=x2-（2+m）x-2，…（10分）
又因为g（x）是偶函数，2+m=0，
∴m=-2．  …（12分）