2012-2013学年山西大学附中高二（上）暑假考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={x|lgx＞0}，N={x|x²≤4}，则M∩N=（ ）
A．（1，2）
B．[1，2）
C．（1，2]
D．[1，2]

2. 难度：中等

设，是两个非零向量（ ）
A．若|+|=||-||，则⊥
B．若⊥，则|+|=||-||
C．若|+|=||-||，则存在实数λ，使得=λ
D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||-||

3. 难度：中等

有两枚质地均匀的骰子，一枚红色骰子有两个面是1，其余面是2，3，4，5，另一枚蓝色骰子有两面是2，其余面是3，4，5，6，则两个骰子向上点数相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₁+a₄+a₇=39，a₃+a₆+a₉=27，则前9项的和S₉等于（ ）
A．66
B．99
C．144
D．297

5. 难度：中等

使得函数有零点的一个区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

6. 难度：中等

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2^x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④

7. 难度：中等

设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1}
B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数
D．D（x）不是单调函数

8. 难度：中等

如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若x₁是方程lgx+x=3的解，x₂是10^x+x=3的解，则x₁+x₂的值为（ 3 ）
A．
B．
C．3
D．

10. 难度：中等

在y=2^x，y=log₂x，y=x²这三个函数中，当0＜x₁＜x₂＜1时，使恒成立的函数的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

11. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（ ）
A．f（x）在单调递减
B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增
D．f（x）在（，）单调递增

12. 难度：中等

设A₁，A₂，A₃，A₄是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A₃，A₄调和分割A₁，A₂，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

13. 难度：中等

设a_n=sin，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正数的个数是（ ）
A．25
B．50
C．75
D．100

14. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在上的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

二、填空题

15. 难度：中等

设等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，若对任意自然数n都有=，则+的值为     ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，1]，且函数F（x）=f（x+m）-f（x-m）的定义域存在，则实数m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知x＞-1，求的最小值为    ．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=e^|x-a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是    ．

19. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是    ．

三、解答题

20. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若sinC+sin（B-A）=sin2A，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积S=3，且c=，C=，求a，b的值．

21. 难度：中等

设平面内的向量，，，点P是直线OM上的一个动点，且，求的坐标及∠APB的余弦值．

22. 难度：中等

函数f（x）=6cos²sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）=，且x∈（-），求f（x+1）的值．

23. 难度：中等

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（）＞2．

24. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．