2008年广东省广州市高二数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合{a，a²-a}有4个子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．{0，2}
B．{a|a≠0，a∈R}
C．{a|a≠2，a∈R}
D．{a|a≠0且a≠2，a∈R}

2. 难度：中等

已知函数f（x）=则f[f（-0.5）]等于（ ）
A．-0.5
B．-1
C．0.5
D．1

3. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，点A、B、C、D的坐标分别为A（1，，0，，0）、B（0，，2，，0）、C（2，，4，，0）、D（1，，2，，2），则三棱锥A-BCD的体积是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．10

4. 难度：中等

已知直线x-2y+1=0与圆（a，b∈R）有交点，则a²+b²-2a+2b+1的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

5. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=4，b=2，A=60°，则cosC=    ．

6. 难度：中等

已知直角梯形ABCD的顶点坐标分别为A（a，1），B（2，0），C（3，1），D（1，3），则实数a的值是    ．

7. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+a_n+1=1（n∈N^*），设S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₀₇-2S₂₀₀₆+S₂₀₀₅的值为    ．

8. 难度：中等

已知A、B、C三点在同一条直线l上，O为直线l外一点，若=0，p，q，r∈R，则p+q+r=    ．

9. 难度：中等

一个非负整数的有序数对（m，n），如果在做m+n的加法时不用进位，则称（m，n）为“奥运数对”，m+n称为“奥运数对”（m，n）的和，则和为2008的“奥运数对”的个数有    个．

10. 难度：中等

如图所示，函数y=f（x）的图象是圆心在点，半径为1的两段圆弧，则不等式f（x）＜f（2-x）+x的解集是    ．

三、解答题

11. 难度：中等

已知函数f（x）=asinωx+bcosωx（a，b∈R，且ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求a，b，ω的值；
（2）若方程3[f（x）]²-f（x）+m=0
在内有两个不同的解，求实数m的取值范围．

12. 难度：中等

如图所示，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC．AC=BC=CC₁=2．
（1）若点D、E、F分别为棱CC₁、C₁B₁、CA的中点，求证：EF⊥平面A₁BD；
（2）请根据下列要求设计切割和拼接方法：要求用平行于三棱柱A₁B₁C₁-ABC的某一条侧棱的平面去截此三棱柱，切开后的两个几何体再拼接成一个长方体．简单地写出一种切割和拼接方法，
并写出拼接后的长方体的表面积（不必写出计算过程）．

13. 难度：中等

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆L：上不同的两点，线段AB的中点为．
（1）求直线AB的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与椭圆L交于点C、D，试问四点A、B、C、D是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由．

14. 难度：中等

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_2n+1=qa_2n-1+d（d∈R，q∈R 且q≠0，n∈N^*）．
（1）若数列{a_2n-1}是等比数列，求q与d满足的条件；
（2）当d=0，q=2时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第n次运动的位移是a_n，第n次运动后，质点到达点P_n（x_n，y_n），求数列{n•x_4n}的前n项和S_n．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R，且a≠0）．
（1）当b=2时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a＞0且2a+b=1时，讨论函数f（x）的零点个数．