Question

已知直线x-2y+1=0与圆（a，b∈R）有交点，则a²+b²-2a+2b+1的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设 k=a2+b2-2a+2b+1，则 （a-1）2+（b+1）2=k+1，故k+1 表示圆心C（a，b）到点A（1，-1）的距离的平方，因此要求k的最小值，只需求满足题目条件的点C（a，b）与
点A（1，-1）的最短距离AC，AC的最小值等于点A（1，-1）到直线x-2y+1=0的距离减去半径，进而求出AC2的最小值，从而得到k的最小值．
【解析】
∵圆的圆心为C（a，b），半径等于．
设 k=a2+b2-2a+2b+1=（a-1）2+（b+1）2-1，则 （a-1）2+（b+1）2=k+1，
故k+1表示圆心C（a，b）到点A（1，-1）的距离的平方，因此要求k的最小值，只需求满足题目条件的点C（a，b）与点A（1，-1）的最短距离AC．
故当AC和直线x-2y+1=0垂直时，AC最短，此时，AC的最小值等于点A（1，-1）到直线x-2y+1=0的距离减去半径，
即-=．
故k+1的最小值为=，
∴k 的最小值等于-1=．
故选B．