2006-2007学年广东省广州市白云区高中数学青年教师解题大赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|-1＜x＜5}，则集合{x|-1＜x＜2|是（ ）
A．（∁_UA）∪（∁_UB）
B．∁_U（A∪B）
C．（∁_UA）∩B
D．A∩B

2. 难度：中等

在下列向量中，与向量=（1，-平行的单位向量是（ ）
A．（1，-
B．（，1）
C．（）
D．（-）

3. 难度：中等

在的展开式中，x²的系数是（ ）
A．60
B．
C．30
D．

4. 难度：中等

设函数，则下列命题正确的是（ ）
①图象上一定存在两点它们的连线平行于x轴；
②图象上任意两点的连线都不平行于y轴；
③图象关于直线y=x对称；
④图象关于原点对称．
A．①③
B．②③
C．②④
D．③

5. 难度：中等

已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一个元素用a表示，在B中任取一个元素用b表示，则所取两数满足a＞b的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=3kx+1-2k在（-1，1）上存在x，使f（x）=0，则k的取值范围是（ ）
A．
B．（-∞，-1）
C．（-∞，-1）∪（，+∞）
D．

7. 难度：中等

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n且S₅=2，S₁₀=6，则a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀等于（ ）
A．12
B．16
C．32
D．54

8. 难度：中等

已知直线l，m平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α∥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．
其中真命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

9. 难度：中等

当0＜x＜时，函数的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．

10. 难度：中等

过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知复数Z满足（+i）z=2i，则Z=    ．

12. 难度：中等

已知x，y满足约束条件目标函数z=4x+3y的最小值为    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}中，S_n是前n项和，若a₁=1，a_n+1=（n≥1，n∈N），则a_n=    ．

14. 难度：中等

如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头说明下一步是到哪一个框图．阅读这个流程图，回答下列问题：
若a＜b＜c，则输出的数是    ；
若a=，b=，c=log₃2，则输出的数是    ．（用字母a、b、c填空）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+sin．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若，且sin2x=，求f（x）的值．

16. 难度：中等

f（x）=alnx+bx²+x在x₁=1与x₂=2时取得极值，
（1）试确定a、b的值；
（2）求f（x）的单调增区间和减区间．

17. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=AD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M、N分别是PA、PB的中点．
（1）求证：直线MN∥平面PDC；
（2）若∠CND=90°，求证：直线DN⊥平面PBC；
（3）若AB=2，求棱锥B-PAC的体积．

18. 难度：中等

某农产品去年各季度的市场价格如下表：

季  度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每吨售价（单位：元）	195.5	200.5	204.5	199.5

今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每个100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
（1）根据题中条件填空，m=______（元/吨）；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

19. 难度：中等

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的正整数n都有等式成立．
（1）求证（n∈N⁺）；
（2）求数列{S_n}的通项公式；
（3）记数列的前n项和为T_n，求证T_n＜1．

20. 难度：中等

如图，已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM⊥PF并交x轴于M点，延长MP到N，使|PN|=|PM|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）直线l与动点N的轨迹C交于A、B两点，若=-4，且≤|AB|≤，求直线l的斜率的取值范围．