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过椭圆左焦点F,倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点,若|FA|=2|FB|,...

过椭圆左焦点F,倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离心率为( )
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设椭圆的左准线为l,设A、B两点在l上的射影分别为C、D,连接AC、BD,过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义,再结合直角△ABG中,∠BAG=60°,可求出边之间的长度之比,可得离心率的值. 【解析】 如图,设椭圆的左准线为l,过A点作AC⊥l于C, 过点B作BD⊥l于D,再过B点作BG⊥AC于G, 直角△ABG中,∠BAG=60°,所以AB=2AG,…① 由圆锥曲线统一定义得:, ∵FA=2FB, ∴AC=2BD 直角梯形ABDC中,AG=AC-BD=…② ①、②比较,可得AB=AC, 又∵ ∴ 故所求的离心率为 . 故选B.
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