2008-2009学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

解析式为y=x²，值域为{1，4}的函数共有    个．

2. 难度：中等

i是虚数单位，i+2i²+3i³+…+8i⁸=    ．（用a+bi的形式表示，a，b∈R）

3. 难度：中等

已知，则λ=    ．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=，从第10项开始比1大，求公差d的取值范围     ．

5. 难度：中等

已知，则的值为    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1-2^-x，则不等式的解集是    ．

7. 难度：中等

设y=f（x）是一次函数，f（0）=1，且f（1），f（4），f（13）成等比数列，则f（2）+f（4）+…+f（2n）=    ．

8. 难度：中等

已知f（x），g（x）满f（5）=2，f'（5）=3，g（5）=1，g'（5）=2，则函数的图象在x=5处的切线方程为    ．

9. 难度：中等

对于△ABC，有如下命题：
（1）若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形．
（2）若sinA=sinB，则△ABC一定为等腰三角形．
（3）若sin²A+sin²B+cos²C＜1，则△ABC一定为钝角三角形．
（4）若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是    ．（把所有正确的命题序号都填上）

10. 难度：中等

方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根的充要条件是    ．

11. 难度：中等

已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是     ．

12. 难度：中等

设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足，，则=    ．

13. 难度：中等

如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k（k＞0）．当θ=    时，水槽的流量最大．

14. 难度：中等

函数f（x）=2^2x-2^x+1+2的定义域为M，值域为[1，2]，给出下列结论：①M=[1，2]；  ②M=（-∞，1]；  ③M⊆（-∞，1]；  ④M⊇[-2，1]；  ⑤1∈M；  ⑥0∈M．其中一定成立的结论的序号是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂=9，a₅=21．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2^a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若=-，b=，求a+c的值；
（2）求2sinA-sinC的取值范围．

17. 难度：中等

已知：0＜θ＜π，等比数列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ，．
（1）问是否为数列{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
（2）若等比数列{a_n}的公比q满足|q|＜1，求θ的取值范围．

18. 难度：中等

如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）
（1）试判断函数在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（2）已知某质点的运动方程为，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以为下界的函数，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知A₁，A₂，…，A_n，…依次在x轴上，（n=2，3，…），点B₁，B₂，…，B_n，…依次在射线y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），=
（1）用n表示A_n，B_n的坐标；
（2）若四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积为S_n，求S_n的最大值．

20. 难度：中等

设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值．
（1）当的解析式，当Z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）是偶函数（x∈R）；
（3）若，求证方程f（x）-有且只有一个实根，并求出这个实根．

21. 难度：中等

二阶矩阵M₁，M₂对应的变换对正方形区域的作用结果如下图所示：
（1）分别写出一个满足条件的矩阵M₁，M₂；
（2）根据（1）的结果，令M=M₂M₁，求曲线x-y-1=0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．

22. 难度：中等

（1）求矩阵的逆矩阵；
（2）利用逆矩阵知识解方程组．

23. 难度：中等

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x²+y²=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

24. 难度：中等

在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使=12．
（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值．