2011年江西省抚州市临川一中高三第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2}且∁_UA={2}，则集合A的真子集共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个

2. 难度：中等

已知的值等于（ ）
A．
B．
C．-
D．-

3. 难度：中等

若p：|x+1|＞2，q：x＞2，则¬p是¬q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A．f（x）=-x²+x+1
B．
C．
D．f（x）=ln（2-x）

5. 难度：中等

设a=2^0.3，b=0.3²，c=log_x（x²+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a

6. 难度：中等

要得到函数y=2cos（x+）sin（-x）-1的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位

7. 难度：中等

在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤，
③sin²A+cos²B=1，
④cos²A+cos²B=sin²C，
其中正确的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+3）=f（x+1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）-log₅x，（x＞0）的零点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

某宾馆有n（n∈N^*）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：

每间客房的定价	220元	200元	180元	160元
每天的住房率	50%	60%	70%	75%

对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（ ）
A．220元
B．200元
C．180元
D．160元

10. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，圆O过正方体六条棱的中点A_i（i=1，2，3，4，5，6），此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧A_iA_i+1在圆O中所对的圆心角为α_i（i=1，2，3，4，5），弧A₆A₁所对的圆心角为α₆，则等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知 f（x）为R上的可导函数，且f（x）＜f'（x）和f（x）＞0对于x∈R恒成立，则有（ ）
A．f（2）＜e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
B．f（2）＞e²-f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰-f（0）
C．f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）
D．f（2）＜e²-f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰-f（0）

二、填空题

13. 难度：中等

已知lg（x-y）+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，则=    ．

14. 难度：中等

已知在[-a，a]（a＞0）上的最大值与最小值分别为M、m，则M+m的值为    ．

15. 难度：中等

已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为    ，则按图二作出的矩形面积的最大值为    ．

16. 难度：中等

①命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”；
②若P且Q为假命题，则P、Q均为假命题；
③在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B；
④不等式的解集为|x|+|x-1|＞a的解集为R，则a≤1；
⑤点（x，y）在映射f作用下的象是（2^x，），则在f的作用下，点（1，-1）的原象是（0，2）．
其中真命题的是    （写出所有真命题的编号）

三、解答题

17. 难度：中等

不等式f（x）=的定义域为集合A，关于x的不等式R）的解集为B，求使A∩B=B的实数a取值范围．

18. 难度：中等

设函数
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为的值．

19. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．

20. 难度：中等

如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m²）．
（1）用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．