2011-2012学年广东省深圳实验学校高二（上）第一阶段考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数列{a_n}的前4项为：1，0-1，0，则下面可作为数列{a_n}通项公式的为（ ）
A．a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）
B．
C．a_n=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*）
D．

2. 难度：中等

若a＜0＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．|a|＞|b|
D．|a|＜|b|

3. 难度：中等

不等式（x+1）（3-x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜-1或x＞3}
B．{x|x＜-2或x＞1}
C．{x|-1＜x＜3}
D．{x|-3＜x＜1}

4. 难度：中等

若实数x，y满足则Z=x+3y的最大值是（ ）
A．0
B．3
C．1
D．4

5. 难度：中等

正项等比数列{a_n}的a₅，a₁₃是一元二次方程x²-t•x+16=0（t＞8，t∈R）的两根，则a₉=（ ）
A．±4
B．3
C．
D．4

6. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N^*），则数列{a_n}的通项为（ ）
A．
B．
C．a_n=2ⁿ
D．a_n=2^n（n-1）

7. 难度：中等

已知递增数列{a_n}满足a_n+1•a_n-1=a_n²（n≥2，n∈N），其前10项和等于50，前15项的和为210，则其前5项的和为（ ）
A．10
B．250
C．25
D．15

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积为（ ）
A．2
B．1
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₇=3，a₁₉=2011，则a₁₃=    ．

10. 难度：中等

已知关于x的不等式ax²-bx+1＞0的解集为（-1，5），则a+b=    ．

11. 难度：中等

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足条件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”． 例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”． 设{b_n}是7项的“对称数列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等比数列，且b₁=2，b₃=8．则{b_n}数列各项的和为    ．

12. 难度：中等

如果点P在平面区域上，点Q在曲线x²+（y+3）²=1上，那么|PQ|的最小值为    ．

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁＞0，其前n项和为S_n，且S₇=S₁₄，则使S_n取最大值的n取值为    ．

14. 难度：中等

有如下命题：
①若数列{a_n}为等比数列，则数列{lga_n}为等差数列；
②关于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集为x∈R，则实数a的取值范围为0≤a＜4；
③在等差数列{a_n}中，若a_m+a_n=a_p+a_t（m，n，p，t∈N^*），则m+n=p+t；
④x，y满足，则使z=2x+y取得最大值的最优解为（2，-1）．
其中正确命题的序号为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知f（x）=-2x²+x+1
（1）若f（x）＜0，求x的取值范围；
（2）数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n），求数列{a_n}的通项公式．

16. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅-a₁=15，a₄-a₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，若恒成立，求实数M的最小值．

17. 难度：中等

一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．
（1）设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，写出x，y满足的线性约束条件，并画出其相应的平面区域；
（2）设该厂的利润为z万元（1）的条件下求目标函数z=f（x，y）的表达式，并求该厂的最大利润．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），a₁=f（1），a₂=f（2），其中f（x）=2^x-1，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：为等差数列；
（3）若b_n=（-1）ⁿS_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

收集本地区教育储蓄信息，有一公民的储蓄方式为：第一年末存入a₁元，以后每年末存入的数目均比上一年增加d（d＞0）元，因此，历年所存入的教育储蓄金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，政府给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，也不征利息税．这就是说，如果固定年利率为p（p＞0），那么，在第n年末，第一年所存入的储蓄金就变为a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的储蓄金就变为a₂（1+p）^n-2，…，以W_n表示到第n年末所累计的储蓄金总额．
（1）写出W_n与W_n-1（n≥2）的递推关系式；
（2）是否存在数列{A_n}，{B_n}使W_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列，说明你的理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，且满足6S_n=a_n²+3a_n-4（n≥1，n∈N），数列{b_n}的通项b_n=2n+2（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂；
（2）将集合{x|x=a_n，n∈N*}∩{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，L，c_n，L．解不等式c₁+c₂+…+c_n＞1900；
（3）将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列p₁，p₂，p₃，…，p_n，…．求数列{p_n}的通项公式．