2008-2009学年江苏省扬州中学高三（上）开学考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

f（x）=3sinx，x∈[0，2π]的单调减区间为    ．

2. 难度：中等

若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

若方程lnx+2x-10=0的解为x，则不小于x的最小整数是    ．

4. 难度：中等

设A，B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A=，B={y|y=2^x，x＞0}，则A×B=    ．

5. 难度：中等

将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为    ．

6. 难度：中等

下列说法中，正确的有    个
①若f′（x）=0，则f（x）为f（x）的极值点；
②在闭区间[a，b]上，极大值中最大的就是最大值；
③若f（x）的极大值为f（x₁），f（x）的极小值为f（x₂），则f（x₁）＞f（x₂）；
④有的函数有可能有两个最小值；⑤f（x）为f（x）的极值点，则f′（x）存在且f′（x）=0．

7. 难度：中等

设向量与的夹角为θ，，，则sinθ=    ．

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=（a+1）n²+a，某三角形三边之比为a₂：a₃：a₄，则该三角形最大角为    ．

9. 难度：中等

设函数f（x）=1-xsinx在x=x处取极值，则（1+x²）（1+cos2x）=    ．

10. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知S_p=q，S_q=p，（p≠q），则S_p+q=    ．

11. 难度：中等

函数y=sinx与y=cosx在内的交点为P，在点P处两函数的切线与x轴所围成的三角形的面积为    ．

12. 难度：中等

已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为    ．

13. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知向量，，其中O为坐标原点，若||≥2||对任意的实数α，β都成立，则实数λ的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知
（1）求f（x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ，使f（x）为偶函数；
（3）在（2）的条件下，求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

16. 难度：中等

设数列{a_n}满足当n＞1时，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试问a₁a₂是否是数列{a_n}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．

17. 难度：中等

若函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值及相应的x的值．

18. 难度：中等

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm．
（1）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）试确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

19. 难度：中等

已知函数f （x）=．
（1）判断函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）如果关于x的方程f （x）=kx²有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-2x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h^′（x）存在零点（h^′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，（g^′（x）为g（x）的导函数），证明：x₁＜x＜x₂．

21. 难度：中等

已知实数a，b∈R，若所对应的变换T_M把直线l：3x-2y=3变换为自身，试求实数a，b．

22. 难度：中等

已知矩阵．
（1）求M的特征值和特征向量；
（2）若向量，求M³α．

23. 难度：中等

已知（1+3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

24. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N），
（1）试计算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式．