Question

已知函数f（x）=-2x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h^′（x）存在零点（h^′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，（g^′（x）为g（x）的导函数），证明：x₁＜x＜x₂．

Answer

（1）把f（x）和g（x）代入得到h（x），求出h′（x），因为h（x）是增函数，所以h′（x）≥0，根据h′（x）存在零点讨论a的取值为a＞1，利用△=0求出a即可；
（2）由（1）求出g′（x），利用构造函数r（x），讨论函数的增减性，得到x1＜x＜x2．
【解析】
（1）因为h（x）=x2-2x+logax （x＞0），
所以h′（x）=x-2+=．
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以≥0在区间（0，+∞）上恒成立．
若0＜a＜1，则lna＜0，于是x2lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，lna=0，或lna=1与lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x2lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x）=，于是=，x=
以下证明x1＜（※）
（※）等价于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0．
令r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x
r′（x）=lnx2-lnx，在（0，x2]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x2]上为增函数．
当x1＜x2时，r（x1）＜r（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，
从而x＞x1得到证明．
对于x2＞同理可证，所以x1＜x＜x2．