2009-2010学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，点P（-1，-2，7）与点Q（2，0，1）之间的距离为    ．

2. 难度：中等

已知直线y=x+1，y=-x+1，y=-2x+1的倾斜角分别为α₁，α₂，α₃，则α₁，α₂，α₃从小到大的排列顺序为    ．

3. 难度：中等

命题“∀x∈Z，x²+x∈Z”的否定是    ，其真假性为    ．

4. 难度：中等

有下列三条直线：①；②l₂：x+y+4=0；③l₃：y+4=-3（x-2）．
其中与直线y=2x-4在y轴上的截距相等的有    ．（只需填写序号）

5. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于    ．

6. 难度：中等

有下列四种说法：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③垂直于同一个平面的两条直线平行；
④垂直于同一个平面的两个平面平行．
其中正确的说法有    ．（只需填写序号）

7. 难度：中等

将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则此时BD的长为    ．

8. 难度：中等

过点A（1，0）且与直线x+2y+1=0平行的直线l被圆x²+（y-3）²=9截得的弦长为    ．

9. 难度：中等

“m=0”是“直线mx+（m-1）y+5=0与直线（m+2）x+my-1=0互相垂直”的    条件．

10. 难度：中等

圆x²+y²+2x+6y+9=0与圆x²+y²-6x+2y-15=0的位置关系为    ．

11. 难度：中等

已知点P在圆x²+y²=1上运动，长度为4的线段MN在直线3x+4y-25=0上滑动，则△PMN面积的最小值为    ．

12. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP与BD₁垂直，则动点P的轨迹为    ．
⊋35．

13. 难度：中等

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，0），C（2，1），记△ABC绕x轴旋转一周所得几何体的体积为V₁，绕y轴
旋转一周所得几何体的体积为V₂，则V₁与V₂的比值为    ．

14. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|x+2y≤a}，若A是B的子集，则实数a的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

给定两个命题，P：对任意实数x都有x²+ax+a＞0成立；Q：关于x的方程x²-2x+a=0有实数根．若P或Q为真，P且Q为假，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=CC₁，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC．

17. 难度：中等

已知圆C经过点A（1，0）和B（2，1），且圆心C在直线y=2x-4上．
（1）求圆C的方程；
（2）从点T（3，2）向圆C引切线，求切线长和切线方程；
（3）若点P（a，b）在圆C上，试求a²+（b-2）²的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中点，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）求证：平面BDF⊥平面A₁AO；
（3）求证：EG⊥AC．

19. 难度：中等

已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（x，y），（-8，0）和（-2，0）．
（1）求证：AB=2AC的充要条件为x²+y²=16（y≠0）；
（2）若AB²+AC²=50，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

已知圆C的方程为x²+y²=4，动点P满足：过点P作直线与圆C相交所得的所有弦中，弦长最小的为2，记所有满足条件的点P形成的几何图形为曲线M．
（1）写出曲线M所对应的方程；（不需要解答过程）
（2）过点S（0，2）的直线l与圆C交于A，B两点，与曲线M交于E，F两点，若AB=2EF，求直线l的方程；
（3）设点T（x，y）．
①当y=0时，若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，求实数x的取值范围；
②若过点T存在一对互相垂直的直线同时与圆C有两个公共点，试探求实数x，y应满足的条件．