Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中点，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）求证：平面BDF⊥平面A₁AO；
（3）求证：EG⊥AC．

Answer

（1）利用正方体的性质，在平面平面B1D1H 内找到两条相交直线B1D1和HD1都和平面BDF平行，应用面面平行的判定定理，证明平面BDF∥平面B1D1H．
（2）证明BD⊥AO，A1A⊥BD，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面A1AO，从而证得平面BDF∥平面B1D1H．
（3）取CD的中点M，连接EM，GM，由三角形的中位线的性质得EM∥BD，再由AC⊥BD 可得 EM⊥AC，再证
GM⊥AC，从而证明AC⊥平面EGM，AC⊥EG．
证明：（1）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，∴B1D1∥BD．
∵BD⊂平面BDF，而B1D1不在平面BDF 内，∴B1D1∥平面BDF．
取DD1的中点N，则 AH∥D1N 且AH=D1N，故AHND1为平行四边形，∴HD1∥AN．
同理可证 BF∥AN，故 HD1∥BF．
∵BF⊂平面BDF，而HD1不在平面BDF 内，∴HD1∥平面BDF．
这样，在平面平面B1D1H 内有两条相交直线B1D1和HD1都和平面BDF平行，
∴平面BDF∥平面B1D1H．
（2）∵O为AC与BD的交点，∴BD⊥AO．再由A1A⊥平面ABCD可得 A1A⊥BD．
故BD垂直于平面平面A1AO中的两条相交直线AO和A1A，∴BD⊥平面A1AO．
而BD⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面A1AO．
（3）取CD的中点M，连接EM，GM，则EM是△CBD的中位线，∴EM∥BD，由AC⊥BD 可得 EM⊥AC．
由GM和棱A1A平行可得GM⊥平面ABCD，GM⊥AC．
这样，AC垂直于平面EGM中的两条相交直线EM、GM，∴AC⊥平面EGM，∴AC⊥EG．