2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设A到B的映射f：x→y=（x-1）²，若集合A={0，1，2}，则集合B不可能是（ ）
A．{0，1}
B．{0，1，2}
C．{0，-1，2}
D．{0，1，-1}

2. 难度：中等

若命题P：；Q：log_（x-1）4＜0，则命题¬P是¬Q成立的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

3. 难度：中等

设sin（π-2）=a，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（ ）
A．1：1
B．π：4
C．4：π
D．2：π

5. 难度：中等

设正整数集N^*，已知集合A={x|x=3m，m∈N^*}，B={x|x=3m-1，m∈N^*}，C={x|x=3m-2，m∈N^*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是（ ）
A．2006=a+b+c
B．2006=abc
C．2006=a+bc
D．2006=a（b+c）

6. 难度：中等

用“十四进制”表示数时，满十四进前一位．若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，十，J，Q，K；则在“十四进制”中的三位数JQK化成“二进制”数时应为（ ）位数．
A．13
B．12
C．11
D．10

7. 难度：中等

设函数，若xf（x）≤g（x）对于一切x∈R都成立，则函数g（x）可以是（ ）
A．g（x）=sin
B．g（x）=
C．g（x）=x²
D．g（x）=|x|

8. 难度：中等

如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征，其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、…，设此数列的前n项和为S_n，则S₂₀₀₄-2S₂₀₀₅+S₂₀₀₆等于（ ）

A．502501
B．520502
C．502503
D．以上都不对

二、填空题

9. 难度：中等

现定义A*B={x|x∈A，但x∉B}，若A={1，2，3，4，5}，A*B={1，2，3}，则集合B可以是    （写出一个即可）．

10. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若S₉=18，a_n-4=30，S_n=240，则正整数n的值为    ．

11. 难度：中等

某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如图：

现设解密密钥为：x→y=a^x（a＞0，a≠1），如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“    ”．

12. 难度：中等

设[a]表示不超过a的最大整数，则对函数y=x-[x]（x∈R）在定义域内有以下判断：（1）存在最大值与最小值；（2）是周期函数；（3）是增函数；（4）是偶函数．
其中正确的有    （填上相应的序号即可）．

13. 难度：中等

若函数的图象关于原点对称，则实数θ的最小正值为    ．

14. 难度：中等

若不等式0＜ax²+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x²-a|x|+3），（a＞0，a≠1）．
（1）若a=4，写出它的单调递增区间；
（2）若对于的任意实数x₁，x₂都有f（x₁）-f（x₂）＜0成立，试求实数a的范围．

16. 难度：中等

如图，已知△ABC，BC=9cm，现有两个质点甲、乙同时从C点出发，甲沿路线C→B→A以每秒2cm的速度匀速向前移动，乙沿路线C→A以每秒1cm的速度匀速向前移动，当甲到达B点时，乙到达D点，并满足，最后它们同时到达A点．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）设在t时刻，甲、乙分别到达E、F处，试确定△CEF的面积S与t的关系，并求出S的最大值．

17. 难度：中等

已知函数．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于定义域中给定的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n∈N^*），…如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}．
（1）求实数a的值；
（2）若x₁=1，求（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值；
（3）设T_n=（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）（n∈N^*），试问：是否存在n使得T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006成立，若存在，试确定n及相应的x₁的值；若不存在，请说明理由？