Question

已知函数f（x）=log_a（x²-a|x|+3），（a＞0，a≠1）．
（1）若a=4，写出它的单调递增区间；
（2）若对于的任意实数x₁，x₂都有f（x₁）-f（x₂）＜0成立，试求实数a的范围．

Answer

（1）由题意，此题是一个复合函数，当a=4时，外层是一个增函数，所以先求函数的定义域，再求出内层函数的增区间即可得到所求的单调递增区间；
（2）由函数的解析式知此函数是一个偶函数，再由对于的任意实数x1，x2都有f（x1）-f（x2）＜0成立知此函数是一个减函数，按a的取值范围分两类讨论，分别求出参数的取值范围即可求出实数a的范围
【解析】
（1）当a=4时，f（x）=log4（x2-4|x|+3），此函数是一个复合函数，外层是增函数，
令x2-4|x|+3＞0可解得x＜-3，或-1＜x＜1，或x＞3，即函数的定义域是（-∞，-3）∪（-1，1）∪（3，+∞）
又x2-4|x|+3=
∴内层函数在（-1，0）与（3，+∞）上是增函数
∴复合函数f（x）=loga（x2-a|x|+3）在（-1，0]与（3，+∞）上是增函数
所以函数的单调递增区间为（-1，0]与（3，+∞）-----（6分）
（2）由题意，易知函数为偶函数，则当时为减函数．
对于时，f（x）=loga（x2-ax+3），（a＞0，a≠1）-----（8分）
设g（x）=x2-ax+3，由题意得：，或-----（14分）
则2≤a＜4或0＜a＜1-----（16分）