Question

如图，已知△ABC，BC=9cm，现有两个质点甲、乙同时从C点出发，甲沿路线C→B→A以每秒2cm的速度匀速向前移动，乙沿路线C→A以每秒1cm的速度匀速向前移动，当甲到达B点时，乙到达D点，并满足，最后它们同时到达A点．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）设在t时刻，甲、乙分别到达E、F处，试确定△CEF的面积S与t的关系，并求出S的最大值．

Answer

（1）由已知中△ABC中，BC=9cm，有两个质点甲、乙同时从C点出发，甲沿路线C→B→A以每秒2cm的速度匀速向前移动，乙沿路线C→A以每秒1cm的速度匀速向前移动，当甲到达B点时，乙到达D点，并满足，最后它们同时到达A点．可能CB+CA=2AC，CB：AB=CD：CA=3：8，进而求出AC，AB边的长，由余弦定理（或勾股定理）即可判断△ABC的形状；
（2）由于△CEF的形状，在E点位于BC上或E点位于BA上时不同，故我们可以分当甲在C→B的过程中时，和甲在B→A的过程中时，两种情况进行分类讨论，确定出S与t的分段函数表达式，并根据分段函数分段处理的原则，求出S的最大值．
【解析】
（1）如图，由题意可得：CB+CA=2AC，CB：AB=CD：CA=3：8，
又∵BC=9cm，
∴，则AC=12，
从而可得AB=15，
∵AB2=AC2+BC2，
则△ABC是以AB为斜边的直角三角形．-----（6分）
（2）当甲在C→B的过程中时，△CEF是直角三角形，则它的面积为，-----（10分）
当甲在B→A的过程中时，易知EF∥BD，
可知∠CFE=∠ADB=arctan2，令，
则AF=12-t，由EF∥BD得，
故△CEF的面积，
故----（16分）
易知当时有最大值；当t=6时有最大值，
故△CEF的面积的最大值为．--（18分）