2010-2011学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数z满足（1+i）z=1-3i，则复数z在复平面上的对应点在    象限．

2. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S₃=3，S₆=24，则a₉=    ．

3. 难度：中等

计算：=    ．

4. 难度：中等

正项的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇，则b₆b₈=    ．

5. 难度：中等

已知，且α为第二象限角，则实数m的取值为    ．

6. 难度：中等

若的值为    ．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前13项之和为，则tan（a₆+a₇+a₈）等于    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且a+c=3，，则△ABC的面积为    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x，当x在区间[-1，3]上任意取值时，函数值不小于0又不大于2的概率是    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为    ．

11. 难度：中等

设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知函数，满足对任意x₁≠x₂，都有成立，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log₂3）═    ．

14. 难度：中等

设m为实数，若⊆{（x，y|x²+y²≤25）}，则m的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|＜0}．
（Ⅰ）当a=时，求（∁_UB∩A）；
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求的值．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的最大值．

18. 难度：中等

如图，△ABC是一块边长AB=3m，AC=5m，BC=7m的剩余角料．现要从中裁剪出一块面积最大的平行四边形用料APQR，要求顶点P，Q，R分别在边AB，BC，CA上．问点Q在BC边上的什么位置时，剪裁符合要求？并求这个最大值．

19. 难度：中等

已知f（x）=4msinx-cos2x（x∈R）．
（1）若m=0，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的最大值为3，求实数m的值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N*．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1•a_2n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

求曲线y=e^x，y=e^-x及x=1所围成的图形的面积．

22. 难度：中等

已知M=，试计算M²⁰α

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线，
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

24. 难度：中等

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．