Question

已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|＜0}．
（Ⅰ）当a=时，求（∁_UB∩A）；
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出集合A、B，再求出CUB，借助数轴求出，（CUB）∩A．
（Ⅱ）由题意知，p⇒q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a2+2}．对于集合A，其解集的端点是 3a+1和2，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a的范围．
【解析】
（Ⅰ）当时，，（2分）
CUB=，（CUB）∩A=．（4分）
（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．（6分）
由a2+2＞a，得 B={x|a＜x＜a2+2}．（8分）
①当3a+1＞2，即时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由 ，解得 ．
②当3a+1=2，即a=时，A=∅，不符合题意；
③当3a+1＜2，即时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由 ，解得 ．
综上，∪．（12分）