2008-2009学年北京市崇文区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=log₂（x-3）的定义域为（ ）
A．{x|x≤3，x∈R}
B．{x|x≥3，x∈R}
C．{x|x＞3，x∈R}
D．{x|x＜3，x∈R}

2. 难度：中等

集合P={x|x=2k，k∈Z}，若对任意的a，b∈P都有a*b∈P，则运算*不可能是（ ）
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法

3. 难度：中等

对总数为M的一批零件抽取一个容量为25的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则M等于（ ）
A．200
B．150
C．100
D．80

4. 难度：中等

将函数y=2sin（2x-θ）-3的图象F按向量a=平移得到图象F′，若F′的解析式为y=2sin2x，则θ的一个可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

6. 难度：中等

若正项数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1²-3a_n+1a_n-4a_n²=0，则{a_n}的通项a_n=（ ）
A．a_n=2^2n-1
B．a_n=2ⁿ
C．a_n=2²ⁿ⁺¹
D．a_n=2^2n-3

7. 难度：中等

已知点M（1，0），直线l：x=-1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．直线

8. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面α与侧面BCC₁B₁交于EF，且EF∥BC．若平面α与底面ABC所成二面角的大小为x，四边形BCEF面积为y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知（tanθ+cotθ）sin²θ=2，则tanθ=    ．

10. 难度：中等

一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、1、2，则此球的表面积为    ．

11. 难度：中等

展开式的各项系数之和大于8且小于32，则n=    ，展开式中的常数项是    ．

12. 难度：中等

已知圆C：x²-8x+y²-9=0，过点M（1，3）作直线交圆C于A，B两点，△ABC面积的最大值为    ．

13. 难度：中等

4名学生报名参加数学、生物、英语三项比赛，每人限报一项．报名方法有    种；若每个项目均有人参赛，则报名方法有    种．（用数字作答）

14. 难度：中等

下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（cosx，2cosx），向量=（2cosx，sin（π-x）），若f（x）=•+1．
（I）求函数f（x）的解析式和最小正周期；
（II）若，求f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值．

17. 难度：中等

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）当x∈[1，3]时，求函数f（x）的最大值．

18. 难度：中等

射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员如进行2轮比赛．
（Ⅰ）求该运动员得4分的概率为多少？
（Ⅱ）若该运动员所得分数为，求的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A（-2，0），离心率，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当时，求直线PQ的方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{b_n}的通项b_n；
（3）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．