Question

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）当x∈[1，3]时，求函数f（x）的最大值．

Answer

（Ⅰ）先求出导函数，再根据x=2是f（x）的一个极值点对应x=2是导数为0的根即可求b的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论求出函数的极值点，通过比较极值与端点值的大小从而确定出最大值．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（3分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得．------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
则f′（x）=x2-3x+2．-------------------------------------------------------------（7分）
令f′（x）=0，解得x=1或x=2．----------------------------------------------------（8分）

x 1 （1，2） 2 （2，3） 3
f′（x）     0 - +
f（x） ↓ ↑

∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上单调递减；
当x∈（2，3）时f′（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上单调递增．
∴当x∈[1，3]时，函数f（x）的最大值为f（1）与f（3）中的较大者．
∴函数f（x）的最大值为．-----------------------------------------------------------（13分）