Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A（-2，0），离心率，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当时，求直线PQ的方程．

Answer

（I）设出椭圆的标准方程根据题意可a，利用离心率求得c，则b可求得，椭圆的方程可得．
（II）解法一：设出直线PQ的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，则利用弦长公式可表示出|PQ|求得m，直线的方程可得．
解法二：设出直线PQ的方程为线PQ方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，设出P，Q的坐标，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，则利用弦长公式可表示出|PQ|求得m，直线的方程可得．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为（a＞b＞0），
由已知 ，
∴c=1，b2=a2-c2=3，--------------------------------------------------------（4分）
∴椭圆方程为．-------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）解法一：椭圆右焦点F（1，0）．
设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）．----------------------------------（7分）
由得（3m2+4）y2+6my-9=0．①-----------（9分）
显然，方程①的△＞0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有．--（11分）=．
解得m=±1．---------------------------------------------------------------------------（13分）
∴直线PQ 方程为x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．----------（14分）
解法二：椭圆右焦点F（1，0）．
当直线的斜率不存在时，|PQ|=3，不合题意．
设直线PQ方程为y=k（x-1），--------------------------------------（7分）
由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．   ①----（9分）
显然，方程①的△＞0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．--------（11分）=
=．
∵，
∴，解得k=±1．----------------------------------------------------（13分）
∴直线PQ的方程为y=±（x-1），即x+y-1=0或x-y-1=0．----------（14分）