2008-2009学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3}，满足B=A∩B的集合B的个数是（ ）
A．3个
B．6个
C．7个
D．8个

2. 难度：中等

函数f（x）=log₂（x-3）的定义域为（ ）
A．{x|x≤3，x∈R}
B．{x|x≥3，x∈R}
C．{x|x＞3，x∈R}
D．{x|x＜3，x∈R}

3. 难度：中等

若实数a，b满足0＜a＜b，且a+b=1．则下列四个数中最大的是（ ）
A．
B．a²+b²
C．2ab
D．a

4. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

将函数y=2sin（2x-θ）-3的图象F按向量a=平移得到图象F′，若F′的解析式为y=2sin2x，则θ的一个可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若正项数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1²-3a_n+1a_n-4a_n²=0，则{a_n}的通项a_n=（ ）
A．a_n=2^2n-1
B．a_n=2ⁿ
C．a_n=2²ⁿ⁺¹
D．a_n=2^2n-3

7. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，高为1，过顶点A作一平面α与侧面BCC₁B₁交于EF，且EF∥BC．若平面α与底面ABC所成二面角的大小为x，四边形BCEF面积为y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知，其中m是实数，i是虚数单位，则m=    ．

10. 难度：中等

已知（tanθ+cotθ）sin²θ=2，，则sinθ=    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=的值域是    ．

12. 难度：中等

设O为坐标原点，向量．将绕着点O按逆时针方向旋转90°得到向量，则2的坐标为     ．

13. 难度：中等

已知展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为    ．

14. 难度：中等

下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（cosx，2cosx），向量=（2cosx，sin（π-x）），若f（x）=•+1．
（I）求函数f（x）的解析式和最小正周期；
（II）若，求f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，
AB=2，AC=．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大小；
（III）求O点到平面ACD的距离．

17. 难度：中等

射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员如进行2轮比赛．
（Ⅰ）求该运动员得4分的概率为多少？
（Ⅱ）若该运动员所得分数为，求的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和．

19. 难度：中等

设函数x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当时，使不等式
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．