Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，
AB=2，AC=．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求二面角A-BC-D的大小；
（III）求O点到平面ACD的距离．

Answer

（I）要证AO⊥平面BCD，可证AO⊥BD，易证．再证AO⊥OC，利用勾股定理．
（Ⅱ）过O作OE⊥BC于E，连接AE，证得∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，解三角形AOE可得大小．
（Ⅲ）利用等体积法VO-ACD=VA-OCD求O点到平面ACD的距离．
证明：（I）连接OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD．
∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，AB=2，，
∴
在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）过O作OE⊥BC于E，连接AE，
∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE．
∴AE⊥BC．
∴∠AEO为二面角A-BC-D的平面角
在Rt△AEO中，，，
∴∠AEO=arctan2．
∴二面角A-BC-D的大小为arctan2
（III）【解析】
设点O到平面ACD的距离为h．∵VO-ACD=VA-OCD，
∴．
在△ACD中，，．
而，
∴．
∴点O到平面ACD的距离为