2010年湖南省长沙市长郡中学高三分班考试数学（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（1-i）¹⁰（i为虚数单位）的二项展开式中的第七项为（ ）
A．-210
B．210
C．-120i
D．120i

2. 难度：中等

一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．7
D．14

3. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间是（ ）
A．（，1）
B．（1，e-1）
C．（e-1，2）
D．（2，e）

4. 难度：中等

已知离心率为e的曲线-=1，其右焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，则e的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y=cosx图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

执行右面的程序框图，输出的S值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

为了迎接第十届全国中学生运动会在长沙举行，某中学从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案的种数为（ ）
A．90
B．180
C．240
D．360

8. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个

二、填空题

9. 难度：中等

由抛物线y²=x与直线x=2所围成图形的面积是    ．

10. 难度：中等

集合A={x|≤2^x≤，x∈R}，B={x|x²-2tx+1≤0}，若A∩B=A，则实数t的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为    ．

12. 难度：中等

给出下列四个命题：
①过平面外一点作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平行；
④对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等．
其中正确的命题的序号是     ．（请把所有正确命题的序号都填上）

三、解答题

13. 难度：中等

三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量=（c-a，b-a），=（a+b，c），若．
（1）求角B的大小．
（2）求sinA+sinC的取值范围．

14. 难度：中等

某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及期望．

15. 难度：中等

已知几何体A-BCED 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求：
（1）异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B 的正弦值；
（3）此几何体的体积V 的大小．

16. 难度：中等

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=•100%（其中f（t））为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）已知2^x＞xln2对任意x＞0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间f∈（1，2）时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

17. 难度：中等

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求证：．

18. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．