2010-2011学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={y|y=x²，x∈Z}，，则M∩N的真子集的个数（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

2. 难度：中等

已知函数（x∈R），则下列叙述错误的是（ ）
A．f（x）的最大值与最小值之和等于π
B．f（x）是偶函数
C．f（x）在[4，7]上是增函数
D．f（x）的图象关于点成中心对称

3. 难度：中等

使“lgm＜1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．m∈（0，+∞）
B．m∈{1，2}
C．0＜m＜10
D．m＜1

4. 难度：中等

函数的图象可能是下列图象中的（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知在函数f（x）图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x²+y²=R²上，则f（x）的最小正周期为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．[1，）
C．[1，2）
D．[，2）

8. 难度：中等

f（x）在R上满足f（x）=3f（2-x）-x²+10x-7，则曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程是（ ）
A．y=-2x+1
B．y=-2x+3
C．y=2x-1
D．y=2x-3

9. 难度：中等

已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的1高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．[-2，2]
D．（-2，2）

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域是    ．

12. 难度：中等

已知向量，    ．

13. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，f（2）=-1，若f（x）的图象向右平移1个单位长度，得到一个奇函数的图象，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=    ．

15. 难度：中等

已知O为△ABC内一点，且，则△AOC与△ABC的面积之比是    ．

16. 难度：中等

已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f^′（x）＜1，则不等式f（x²）＜x²+1的解集为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数的图象过点．
（Ⅰ）求ω的值及使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）该函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得出？

19. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，CA=CD=AB=1，=1，sin∠BCD=．
（1）求BC的长；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）求sinD的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对∀x₁∈（1，+∞），∃x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1．如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．