2009-2010学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，则x²+3≥2x”的否定是    ．

2. 难度：中等

若抛物线y²=4x上一点P到其焦点的距离为3，则点P的横坐标等于    ．

3. 难度：中等

某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况茎叶图（单位：斤）则本周内甲、乙两种水果每天销售的平均数之和为    斤．

4. 难度：中等

若函数y=x³+ax在（-∞，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

已知，若，则λ=    ．

6. 难度：中等

一个算法的流程图如图所示，则输出的结果s为    ．

7. 难度：中等

某调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），则月收入在（2500，3500）（元）内大约有    人．

8. 难度：中等

椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

在长为10cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm²与49cm²之间的概率为    ．

10. 难度：中等

有5条长度分别为3，4，5，8，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是    ．

11. 难度：中等

曲线y=e^2x-1在点（1，e）处的切线为l，则切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为    ．

12. 难度：中等

命题“∃x∈R，使ax²-2ax+3＜0成立”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）在区间[0，3]内的图象如图所示，记k₁=f'（1），k₂=f'（2），k₃=f（2）-f（1），则k₁、k₂、k₃之间的大小关系为    ．（请用“＞”连接）

15. 难度：中等

设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，以线段F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若PF₁=2PF₂，则双曲线的两条渐近线方程为    ．

16. 难度：中等

设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有实数解；
（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
②；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有    ．（只需填写函数的序号）

二、解答题

17. 难度：中等

从某校参加2009年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．
（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为______，______，______．
（2）补全在区间[70，140]上的频率分布直方图；
（3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？

分组	频数	频率
[70，80）		0.08
[80，90）		③
[90，100）		0.36
[100，110）	16	0.32
[110，120）		0.08
[120，130）	2	②
[130，140]		0.02
合计	①

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-bx+a²（a，b∈R）
（1）若a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2，3}，求方程f（x）=0有实数根的概率；
（2）若a从区间[0，3]内任取一个数，b从区间[0，2]内任取一个数，求方程f（x）=0有实数根的概率．

19. 难度：中等

已知集合P={x|（x-1）²＞16}，Q={x|x²+（a-8）x-8a≤0}．
（1）求a的一个值，使它成为P∩Q={x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件；
（2）求a的取值范围，使它成为P∩Q={x|5＜x≤8}的充要条件；
（3）求P∩Q．

20. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁，AB=2，点E在棱AB上．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E点为线段AB的中点时，求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（3）试问E点在何处时，平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为．

21. 难度：中等

实验表明，某型号的汽车每小时的耗油量y（升）与速度x（千米/小时）的关系式为，已知甲乙两地相距180千米，最高时速为V千米/小时．
（1）当车速度x（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为f（x）（升），求函数f（x）的解析式并指出函数的定义域；
（2）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少？

22. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁，以F₁，F₂为焦点，离心率为的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程；
（2）用m表示P点的坐标；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

24. 难度：中等

已知函数
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围．