Question

已知集合P={x|（x-1）²＞16}，Q={x|x²+（a-8）x-8a≤0}．
（1）求a的一个值，使它成为P∩Q={x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件；
（2）求a的取值范围，使它成为P∩Q={x|5＜x≤8}的充要条件；
（3）求P∩Q．

Answer

（1）先将集合P，Q化简，从而转化为当a取区间[-5，3]内的任一个值时，P∩Q={x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件；
（2）由（1）知，当a取值范围是区间[-5，3]时，就是P∩Q={x|5＜x≤8}的充要条件；
（3）分类讨论即可．
【解析】
（1）由已知得P={x|x＜-3，或x＞5}，画数轴可知，当a∈[-5，3]，Q={x|-a≤x≤8}，满足P∩Q={x|5＜x≤8}，
．当a取区间[-5，3]内的任一个值，如a=3就是P∩Q={x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件；---------------（6分）
（2）当a取值范围是区间[-5，3]时，就是P∩Q={x|5＜x≤8}的充要条件…-…（10分）
（3）①当a＞3时，解为[-a，-3）∪（5，8]
②当-5≤a≤3时，解为（5，8]
③当-8≤a＜-5时，解为[-a，8]
④当a＜-8时，解为[8，-a]…（14分）